Es werden einige Definitionen und Formeln wiedergegeben[1].
Seien j, n, m natürliche Zahlen, k eine ganze Zahl mit Betrag kleinergleich n und p (als Wahrscheinlichkeit eines Schrittes z.B. nach rechts) im Intervall [0,1] enthalten. Wir setzen
Die Zahlen Q0(n,k) im Q0-Dreieck ergeben sich als Sonderfall gleicher Wahrscheinlichkeit für Schritte nach rechts oder links, d.h. für p=(1-p)=0.5:
Die Rückkehrwahrscheinlichkeiten Q0Z(n) ("zentralen Trefferwahrscheinlichkeiten") entsprechen dem Sonderfall k=0:
Das Q1-Dreieck ergibt sich aus einer Überlagerung zweier Q0-Dreiecke (entgegengesetzten Vorzeichens) startend in Zeile n=1 bei k=±1, jeweils gewichtet mit ±1/2. Addition der beiden läuft auf eine "diskrete Differenzierung" nach k hinaus.
Die Zahlen Q1(n,k) des Q1-Dreiecks ergeben sich betragsmäßig auch, wenn man beginnend ab Zeile n=1 die weiteren Zeilen in üblicher Weise konstruiert, wobei man aber in jeder Zeile mit gerader Zeilennummer n jeweils die Zahlen in Zeilenmitte k=0 auf 0 setzt, sozusagen "rausfließen" lässt, so dass sie im Weiteren keine Quellen mehr sein können. Sei für jede geradzahlige Zeilenummer n>0 die Zahl -Q2Z(n) die dortige "Rausflusswahrscheinlichkeit", d.h. die Wahrscheinlichkeit, zentral "rauszufließen". Q2Z(n) entspricht der ersten (diskreten) Ableitung von Q1(n,k) in k=0 nach k, d.h. Q2Z(n) = (Q1(n-1,1)-Q1(n-1,-1))/2; Damit ist in k=0 Q2Z(n) die 2. Ableitung von Q0(n,k) nach k. Es gilt
Q0M(n,k) ist bez. k=0 antisymmetrisch für n ungerade und
bez. k=0 symmetrisch für n gerade.
Additionsverhalten rechter und linker Seite ähnelt damit demjenigen von Fermionenamplituden bzw. Bosonenamplituden.
Ähnlich wie im analytischen Fall lässt sich mehrfache diskrete Differenzierung rekursiv definieren (durch Bildung finiter Differenzen höherer Ordnung): Sei QDP(d,n,k,p) die d fach entlang k differenzierte Funktion Q0P(n,k,p), dann gilt
und für n ³ d ³ 1
.
Es ist n ³ d notwendig, damit genügend Werte verfügbar sind, um eine (finite) Differenz d ter Ordnung bilden zu können.
(BinCoeffDiffMatrix) In diskreten Betrachtungen ist die Darstellung von Operatoren als Matrizen oft zweckmäßig. Hier eine Matrixdarstellung des Operators für diskrete Differenzierung in Form eine Beispielmatrix mit hoher Anzahl von Dimensionen zur Verdeutlichung der Entwicklung: Multiplikation eines 15-komponentigen Vektors mit folgender Matrix
¦ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 ¦
¦ -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦
¦ 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦
¦ 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦
¦ 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦
¦ 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦
¦ 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ¦
D := ¦ 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 ¦ * 1/2
¦ 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 ¦
¦ 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 ¦
¦ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 ¦
¦ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 ¦
¦ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 ¦
¦ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 ¦
¦ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 ¦
bedeutet einfache diskrete Differenzierung "entlang" dem Index k der Vektorkomponenten (bzw. Bildung der finiten Differenz erster Ordnung - der Versatz dk des Index k beträgt 2, daher Teilung durch 2). Multiplikation mit der n-ten Potenz D^n dieser Matrix ergibt n-fache diskrete Differenzierung (bzw. Bildung der finiten Differenz n-ter Ordnung). Beispielsweise bedeutet Multiplikation mit
¦ -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 ¦
¦ 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 ¦
¦ 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 ¦
¦ 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 ¦
¦ -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 ¦
¦ 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 ¦
6 ¦ 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 0 ¦
D = ¦ 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 0 ¦ * 1/64
¦ 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 1 ¦
¦ 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 0 ¦
¦ 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 -6 ¦
¦ -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 0 ¦
¦ 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 15 ¦
¦ 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 0 ¦
¦ 0 15 0 -6 0 1 0 0 1 0 -6 0 15 0 -20 ¦
6-fache diskrete Differenzierung bzw. die Bildung der finiten Differenz 6-ter Ordnung. Die Zeilen bzw. Spalten der Matrix D^n enthalten mit abwechselndem Vorzeichen die Binomialkoeffizienten, geteilt durch 2^n, in diesem Beispiel die Zahlen 6!/(k!·(6 - k)!·2^6) = Q0(6, 2k-6).
horizontal (örtlich):
vertikal (zeitlich):
Korrespondenz in der Mitte:
.
.
Seien d und l jeweils größergleich n.
Wir definieren das gewichtete Skalarprodukt QSP mit
.
Dann gilt für d¹l
(d.h. Orthogonalität) und ansonsten
,
insbesondere
.
Der Nenner im letzten Ausdruck entspricht der Anzahl der Wegmöglichkeiten vom Punkt (0,0) zum Punkt (n,n-2d) im Q0-Dreieck.
Dieses Kapitel enthält einige elementare Formeln für variable p (und n>0).
Die erste finite Differenz (diskrete Ableitung) von Q0P ist
Im Rand sind die Wahrscheinlichkeiten p und 1-p sehr verschieden. Mit p->0 gilt auch v->0 (tiefe Temperaturen).
In der Mitte sind die Wahrscheinlichkeiten p und 1-p nahezu gleich, also p->1/2 und damit v->C (der Grenzfall p=1/2 bzw. v=C (Photonen) wird durch Q0 und Q1 repräsentiert).
Sei
also
dann gilt für jede Folge (kn) mit (kn)^3/n^2®0 für n®¥ (S. 80 [likr])
(DiracDeltaFu) Es ist
Das Verhalten für n®¥ lässt sich durch eine n-proportionale Maßstabsanpassung veranschaulichen, d.h. durch eine horizontale Stauchung und dafür vertikale Streckung um jeweils den Faktor n. Der Wert des Integrals bleibt davon unberührt:
Die Funktion f(x) = n Q0E(n, nx) / 2 geht für n®¥ also gegen die Diracsche Deltafunktion.
(HermPol) Die Hermite-Polynome Hn(x) sind (bis auf das Vorzeichen) Sonderfälle der aus mehrfacher Differenzierung resultierenden Vorfaktoren:
[1] In wqm (enthalten im Download der älteren Texte) befindet sich eine ausführlichere Formelsammlung.